從離散型轉向連續型隨機變量代表了一次根本性的觀點轉變：從累加單個『質量點』轉為測量密度曲線下的平滑『面積』。離散型變量處理可數結果，而連續型變量則模擬現實世界中無限細緻的特性——時間、距離與重量。
核心轉變：從求和到積分
若存在一個非負函數 $f$，稱為 機率密度函數（PDF） 對於隨機變量 $X$，若對任意實數集合 $B$ 滿足：
$P\{X \in B\} = \int_B f(x) dx$
關鍵在於，這意味著對任何特定值 $a$，都有 $P(X = a) = \int_a^a f(x) dx = 0$。在連續領域中，我們僅討論區間上的機率。
PDF 與 CDF 的協同關係
累積分配函數（CDF）$F(x)$ 代表從負無窮大至 $x$ 之間累積的機率：
關係式
$F(x) = P\{X \le x\} = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$
導數
根據微積分基本定理，密度即為機率累積的速率： $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$
集中趨勢的度量
- 期望值： $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx$
- 中位數 ($m$)： 將面積平分的點，使得 $F(m) = \frac{1}{2}$。
- 眾數： 使 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 值。
求和的極限
為了體會我們旅程中的「積分」概念，請對比離散世界——在那裡我們可能遇到 勒讓德定理 ($\sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 = \pi^2/6$)，或處理因數的複雜邏輯（當 $D=k$ 時，$k$ 必須同時整除 $X$ 與 $Y$，且 $X/k$ 與 $Y/k$ 必須互質）——與連續世界形成對比。在連續世界中，我們透過 $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$ 計算方差，並以 $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f(x) dx$ 計算函數的期望值。
🎯 關鍵洞察
期望值也可視為累積分配函數（CDF）與水平線 $y=0$ 及 $y=1$ 之間的面積。對於任意隨機變量 $Y$：
$E[Y] = \int_{0}^{\infty} P\{Y > y\} dy - \int_{0}^{\infty} P\{Y < -y\} dy$